题解 CF1019D 【Large Triangle】

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$Description$

给出$N$个点，是否存在$3$个点，它们组成的三角形面积为$S$。

$Solution$

如果确定了三角形的一条边，我们可以将整个坐标系旋转一下，使这条边成为新的$y$轴，这时候我们只要分别对$y$轴的两边分别进行二分即可

我们发现：可以先预处理一下每两个点之间的直线，记录一下起点终点和斜率。

首先所有点按$x$坐标从小到大排序。然后对直线进行极角排序。

当我们处理到直线$AB$时,$AB$就成为了$y$轴，且$A,B$是相邻的(它们距离$y$轴距离都为$0)($假设$A$位置在$B$的上面）.然后到下一条直线时，由于斜率从小到大，所以是把整个图顺时针旋转了一点点，直到下一条直线成为$y$轴。那么这个时候把$A,B$在序列中的位置交换一下就行了。因为如果有别的点对相对顺序改变，那么这个点对的斜率一定介于这两条直线之间。下面口胡一下。

假设现在我们以$l_1$为$y$轴。有一组点对，$P$和$Q$，它们相对于$l_1$的横坐标分别是$a$和$b$，其中$a<b$。

然后我们看到比$l_1$斜率更小的第一条直线$l_2$。首先，可以保证，$A$和$B$一定在直线$l_2$的同侧。因为如果$A$和$B$在$l_2$的异侧，那$ABCD$这四个点一定可以生成一条斜率介于$l_1$和$l_2$之间的直线(画一画就知道了)，而我们是把斜率排了序，保证了不会有这种情况出现。现在，将整个图再顺时针旋转一点点，使$l_2$成为新的y轴。那么可以保证，$A$和$B$的相对顺序一定是改变了的，而且是把$A$和$B$的排位交换了一下。(可以脑补一下$AB$在$CD$下侧的情况，是同理的).这时候，我们看到$PQ$，在新的y轴下，$P$的横坐标是$c,Q$的横坐标是$d$，假设$c>d$，那么$PQ$的斜率一定比$l_2$的斜率要大，因为$PQ$逆时针旋转一点点就与$l_2$平行。

对于旋转过后排位会变化的点对(除$AB$外)，一定会满足$PQ$的条件$:a<b$且$c>d$。但是我们发现它的斜率介于$l_1$和$l_2$之间，然鹅比$l_1$斜率更小的第一条直线是$l_2$，不是$PQ$，与前提矛盾，所以不存在这样的$PQ$。

那么就可以保证从$l_1$旋转到$l_2$时，受影响的就只有$l_1$上的两个点。

$Code$

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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define re register
#define N 40000
#define M 4000500
#define eps 1e-4
using namespace std;
struct point{
    int x,y;
    friend point operator -(point a,point b){
        return (point){a.x-b.x,a.y-b.y};
    }
    friend int operator ^(point a,point b){
        return abs(a.x*b.y-b.x*a.y);
    }
}p[N];
struct node{
    int u,v;
    double d;
}a[M];
inline int read(){
    int x=0,w=0;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?-x:x;
}
inline bool cmp(point a,point b){
    if (a.x!=b.x)return a.x<b.x;
    return a.y<b.y;
}
inline bool cmp1(node a,node b){
    return a.d<b.d;
}
inline int area(point a,point b,point c){
    return abs(((b-a)^(c-a)));
}
int n,id[N],pos[N],tot,S;
signed main(){
    n=read();S=read()*2;
    for (int i=1;i<=n;++i)p[i].x=read(),p[i].y=read(),id[i]=pos[i]=i;
    sort(p+1,p+1+n,cmp);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=1+i;j<=n;++j)
            a[++tot]=(node){i,j,atan2((double)(p[j]-p[i]).y,(double)(p[j]-p[i]).x)};
    sort(a+1,a+1+tot,cmp1);
    for (int i=1;i<=tot;++i){
        int x=a[i].u,y=a[i].v;
        if (pos[x]>pos[y])swap(x,y);
        int l=1,r=pos[x]-1,ans=0;
        while (l<=r){
            int mid=(l+r)>>1;
            if (area(p[id[mid]],p[x],p[y])>=S)ans=mid,l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        if (area(p[id[ans]],p[x],p[y])==S){
            puts("Yes");
            printf("%lld %lld\n%lld %lld\n%lld %lld\n",p[id[ans]].x,p[id[ans]].y,p[x].x,p[x].y,p[y].x,p[y].y);
            return 0;
        }
        l=pos[y]+1,r=n,ans=0;
        while (l<=r){
            int mid=(l+r)>>1;
            if (area(p[id[mid]],p[x],p[y])>=S)ans=mid,r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        if (area(p[id[ans]],p[x],p[y])==S){
            puts("Yes");
            printf("%lld %lld\n%lld %lld\n%lld %lld\n",p[id[ans]].x,p[id[ans]].y,p[x].x,p[x].y,p[y].x,p[y].y);
            return 0;
        }
        swap(pos[x],pos[y]);
        swap(id[pos[x]],id[pos[y]]);
    }
    puts("No");
    return 0;
}